圆的性质探索

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

📐 实时数据

半径 r =—px

弦长 |AB| =—px

圆心到弦距离 d =—px

半弦长 =—px

半弦长² + d² =—

r² =—✓

🔍 弧的关系

弧AM = 弧MB

弧AN = 弧NB

圆周角定理

① 同弧上的圆周角等于圆心角的一半
② 同弧上的圆周角相等
③ 半圆（直径）上的圆周角是直角

📐 实时数据

圆心角 ∠AOB =—°

圆周角 ∠ACB =—°

∠AOB ÷ 2 =—°

∠ACB =—°✓

⚡ 直径上的圆周角是直角！∠ACB = 90°

切线性质

① 切线与过切点的半径垂直
② 从圆外一点到圆的两条切线长相等

📐 实时数据

半径 r =—px

切线长 |PT| =—px

|OP| =—px

|PT|² + r² =—

|OP|² =—✓

🔍 直角验证

OT₁ ⊥ PT₁

OT₂ ⊥ PT₂

|PT₁| = |PT₂|

定义：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
勾股关系：半弦长² + 圆心到弦距离² = 半径²，常用于计算。

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧（或等弧）上的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）上的圆周角是直角（90°）。
推论3：90°的圆周角所对的弦是直径。
应用：常用于角度计算和证明直角。

性质1：圆的切线垂直于过切点的半径。
性质2：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
勾股关系：切线长² + 半径² = 圆心到外部点距离²。
判定：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。